債券: 将来価値と現在価値

1.今回学ぶこと

現在の100万円と1年後の100万円の価値は等価ではない。この事実は、現在手元に 100万円あったとすれば、それを年率3%の銀行預金に預けることにより、自動的に 1年後に103万円になるということから、感覚的に理解できるであろう。ここで、 「自動的に」というのは「無リスクで」という意味であり、現在手元にある100万円は 確実に1年後に103万円になるということである。それが、少しでも不確かで ある場合は、そこにリスクが存在するということであり、そのリスクが 如何ほどであるかを研究することは、金融工学の主要テーマの1つと言うことが できる。

ここでは、「無リスク」の状態をとりあえず想定しよう。すると、前述の例では、 現在の100万円は、1年後の103万円に等しいということになる。つまり、現在100万円 持っていても、1年後に103万円持っていても、現時点から見た 資産価値としては等しいということである。このとき、1年後の103万円を、現在の 100万円の将来価値と呼ぶ。逆に、1年後に確実にもらえる100万円は、 現在の幾らに相当するであろうか?無リスクの銀行預金があったとして、 それが年率3%の利息をもらえるものであったとすると、それは現在の約97.09万円に 相当する。この約97.09万円を、1年後の100万円の現在価値と呼ぶ。

資産価値の現在と将来をつなぐものは、金利である。金利が低い場合は、 現在価値と将来価値の差は小さく、金利が高い場合は現在価値と将来価値の差は 相対的に大きくなる。金利は、政策的に定められる側面が大きいが、最終的には 市場で決定される。つまり、資金の需給や将来見通し、そしてリスクなど、 全ての情報を反映して市場で決まるものである。債券の価格は、 将来のキャッシュフローの現在価値であるが、これを定める主要な要因の 1つが金利である。今回は、金利を用いて、債券の将来価値と現在価値を求める 方法について学ぶ。

2.将来価値

ある期間(1年とか半年など)の金利をrとし、現在価値をPV (Present Value)、将来価値をFV(Future Value)とする。このとき、 n期後(金利が年率である場合はn年後)のFVは、以下の式で表される。 ここで、nは整数でなくても構わない。例えば、年率金利を用いて、 1年3ヵ月後の将来価値を考える場合は、n=1.25である。

〜例1〜

年率5%の無リスク資産があったとき、100万円の3年9ヶ月後の将来価値は、 以下のように計算できる(円単位未満四捨五入)。

〜例2〜

年率4%の無リスク資産があり、この資産への投資の利息は半年ごとに年利の 半分が支払われるものとする。この資産に100万円を2年3ヶ月投資したとき、 その将来価値は次のようになる(円単位未満四捨五入)。なお、利払い回数が 年1回の場合についても考察せよ。

3.現在価値

ある期間(1年とか半年など)の金利をrとし、現在価値をPV (Present Value)、将来価値をFV(Future Value)とする。このとき、 n期後(金利が年率である場合はn年後)のFVPVは、 以下の式で表される。ここで、nは整数でなくても構わない。

〜例3〜

5年3ヵ月後に確実に受け取れる100万円があり、その期間に対応する 無リスク金利が年率3%であったとき、その現在価値は以下のように計算できる (円単位未満四捨五入)。

〜例4〜

10年満期でクーポン6%、額面100万円の国債があったとする。この国債は、クーポンの 半分が半年ごとに支払われる。全ての期間の無リスク金利が年率5%で 一定であったとき、この国債の現在価値は次のようになる(円単位未満四捨五入)。

〜例5〜

3年満期でクーポン5%、額面100万円、利払い年1回の国債があったとする。 現在から1年間、2年間、3年間の無リスク金利が、それぞれ年率3%、4%、5% であったとき、この国債の現在価値は以下のように計算できる (円単位未満四捨五入)。

問題

  1. 年率2%の無リスク資産に100万円投資したとき、5年後の将来価値はいくらか。
  2. 年率3%の無リスク資産に100万円投資したとき、7年9ヶ月後の将来価値はいくらか。
  3. 年率3%の無リスク資産があり、この資産への投資の利息は半年ごとに年利の 半分が支払われるものとする。この資産に100万円を7年9ヶ月投資したとき、 その将来価値はいくらか。
  4. 5年後に確実に受け取れる100万円があり、その期間に対応する無リスク金利が 年率2%であったとき、その現在価値はいくらか。
  5. 7年6ヶ月後に確実に受け取れる100万円があり、その期間に対応する 無リスク金利が年率2%であったとき、その現在価値はいくらか。
  6. 7年6ヶ月後に確実に受け取れる100万円があり、その期間に対応する 無リスク金利が年率3%であったとき、その現在価値はいくらか。
  7. 5年満期でクーポン4%、額面100万円の国債があったとする。 この国債の利払いは年1回である。全ての期間の無リスク金利が 年率3%で一定であったとき、この国債の現在価値はいくらか。
  8. 5年満期でクーポン5%、額面100万円の国債があったとする。 この国債の利払いは年1回である。全ての期間の無リスク金利が 年率4%で一定であったとき、この国債の現在価値はいくらか。
  9. 5年満期でクーポン4%、額面100万円の国債があったとする。 この国債は、クーポンの半分が半年ごとに支払われる。全ての期間の無リスク金利が 年率3%で一定であったとき、この国債の現在価値はいくらか。
  10. 5年満期でクーポン5%、額面100万円の国債があったとする。 この国債は、クーポンの半分が半年ごとに支払われる。全ての期間の無リスク金利が 年率4%で一定であったとき、この国債の現在価値はいくらか。
  11. 5年満期でクーポン6%、額面100万円、利払い年1回の国債があったとする。 現在から1年間、2年間、3年間、4年間、5年間の無リスク金利が、 それぞれ年率3%、4%、5%、6%、6.5%であったとき、 この国債の現在価値はいくらか。
  12. 5年満期でクーポン6%、額面100万円、利払い年1回の国債があったとする。 現在から1年間、2年間、3年間、4年間、5年間の無リスク金利が、 それぞれ年率4.5%、5%、5.5%、5.8%、6%であったとき、 この国債の現在価値はいくらか。